Détermination du S.Cxp

Le principe consiste à enregistrer la vitesse lors d’une décélération en palier (puissance moteur réduite au minimum), à partir de la vitesse de croisière, ou supérieure si possible. Celle-ci dépend du S.Cxp. Ce paramètre influe sur la traînée parasite qui est prépondérante pour des vitesses élevée (plage de vitesses > V fmax). La trainée induite y est minoritaire, ce qui permet de réduire l’imprécision de la méthode due à l’incertitude sur la valeur du paramètre e, très influant sur cette traînée.

Puis, à partir de la connaissance de la loi de variation théorique lors d’une décélération V = f(t), on recherche la valeur de S.Cxp qui reproduit la variation de vitesse mesurée en vol

Rappel: Traînée totale = ½ . ρ . V2 . S . Cxp + 2 . (m. g)2 / ρ . V2 . S .  π. ƛ .e 

Enregistrement en vol

La méthode nécessite les précautions suivantes:

  • vent le proche possible de 0, air parfaitement stable, pour supprimer le risque de variation de V . Pour l’enregistrement, la méthode la plus simple consiste à enregistrer la vitesse sol, par utilisation d’un logger GPS, avec un pas de mesure au moins 1 point / seconde
  • connaissance précise de la masse (m) de l’avion (plein complet avant le vol pour éliminer les erreurs de jauge carburant, pesée rigoureuse des occupants et de tous les objets à bord)
  • connaissance la plus exacte possible des conditions de pression et de température à l’altitude du vol afin de calculer la masse volumique de l’air (ρ)
  • pendant la décélération, tenue rigoureuse du palier (contrôle du variomètre et de l’altimètre) et du cap pour éviter les perturbations de vitesse sol en cas de présence imprévue de vent
  • faire l’expérience à plusieurs reprises

Détermination de la loi théorique V = f(t)

Suivant le principe fondamentale de la dynamique, l’accélération ou la décélération (Γ) de l’avion de masse (m) est régie par la loi suivante: Σ F = m . Γ

Σ F étant la somme des forces appliquées sur l’avion. Quand Σ F = 0 alors Γ = 0 et la vitesse est constante.

Avant la décélération, la somme des forces appliquées sur l’avion est T – X = 0, T étant la traction hélice et X la traînée (on oublie le poids et la portance qui s’équilibrent sur cette trajectoire de palier).

Après réduction de puissance, et donc de la force de traction T, l’avion subit une décélération instantanée Γ dont la valeur peut être évaluée comme suit :

(T – X0) = m . Γ    ou     Γ = (T – X0) / m  

avec   X0 = trainée initiale au moment de la réduction de puissance et T = 0

Mais quelques instants après, suite à baisse de la vitesse, la traînée va diminuer, d’où une nouvelle valeur de la décélération, puis une nouvelle réduction de vitesse, etc….

Donc à un instant t, pendant la décélération, on a : – X = m . Γ       ou     – X = m . dV / dt

X étant de la forme A V2 + B / V2, on arrive à       – m dV / (A V2 + B / V2) = dt

Pour établir la loi V = f(t) il faut donc procéder à une intégration membre à membre de l’équation ci-dessus entre V0 (vitesse initiale à t = 0) et V à un instant t. Aisé pour le membre de droite, nettement moins pour celui de gauche…

L’auteur du présent document a vite abandonné ce processus (*) qui s’avère plus que compliqué avec une probabilité non nulle de conduire à une équation transcendante…. La solution de résolution par analyse numérique est donc retenue ici.

Méthode numérique

Le principe est un calcul itératif pas à pas (∆t = 1 seconde), en procédant comme suit :

  • A t = 0, calcul de Γ0  = – X0 / m
  • A t = 1, calcul de V1 = V0 + Γ0     puis X1  (à partir de V1)   puis   Γ1 = – X1 / m
  • A t = 2, calcul de V2 = V1 + Γ1     puis X2  (à partir de V2)   puis  Γ2 = – X2 / m
  • etc…

Le calcul est effectué pour différentes valeurs de S.Cxp.

Application: détermination du S.Cxp du DR 400 / 120

Courbes théoriques pour différentes valeurs de S.Cxp

Les courbes ci-contre sont établies pour les conditions du vol suivantes:

  • Masse : 840 kg
  • Altitude de vol : 1500’       Température en vol : 8 °C      QNH : 1022 hPa     vent ≈ 0
  • Masse volumique de l’air, calculée à partir de T et P : 1,2 kg / m3

Note : malgré l’apparence, ces courbes ne sont pas linéaires. Les valeurs précises de Γ montrent que la décélération diminue jusqu’à la vitesse de finesse maximum puis augmente à nouveau. Il y a un point d’inflexion à Vfmax. Voir ICI

Enregistrement en vol

La variation de vitesse en fonction du temps est présentée sur le graphe ci-dessous (courbe en rouge).

La réduction totale de puissance a été effectuée pour Vi = 200 km/h ce qui, compte-tenu du vent quasi-nul, est également la vitesse sol enregistrée par le logger GPS.

La courbe théorique (en pointillés) représentant au mieux la décélération en vol est celle obtenue pour une valeur de S.Cxp = 0.48 m2

En ramenant Cxp à la surface de l’aile (13.6 m2), on obtient      Cxp = 0.035

(*) Si un mathématicien tombe par hasard ici et peut résoudre ce problème, il sera le bienvenu……..☺